Matthieu
Messages : 9
Date d'inscription : 30/08/2011
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 |  Sujet: 15/10/11 Diagonalisation  Mer 16 Nov - 19:33 | |
| Avec Mme Hirsinger Question de cours Donner la définition d'une norme Exo (avec la correction au fur et à mesure) Soit la matrice de Mn(K), avec que des 1 sauf sur la diagonale, des 0 sur la diagonale. Est-elle diagonalisable? Par deux méthodes -polynôme caractéristique - Spoiler:
Attention, calculs un peu chiants pour les opérations, faire attention à bien écrire tout le déterminant, c'est utile!
Après calcul, le polynôme caractéristique vaut (de mémoire) (X-(n-1))(-1)^(n-1)(-X-1)^(n-1)
n-1 est vp de multiplicité 1, -1 l'est de mult n-1
Ensuite, on écrit les matrices A+In et A-(n-1)In, on voit qu'une à un Ker de dimension 1, l'autre de dimension n-1 (par le rang des matrices) donc la somme vaut n, donc A est diagonalisable
-puis en calculant A^2 - Spoiler:
Méthode plus rapide
On trouve que A^2 = (n-2)A + (n-1)In
ie X^2-(n-2)X-(n-1) est un polynôme annulateur de A, on calcul les racines qui sont -1 et n-1 donc qui sont distinctes, donc A annule un polynôme scindé à racines simples donc A diagonalisable.
Cela fait, on a trouvé des valeurs propres. Proposer une matrice diagonale semblable à A. Attention, en utilisant la deuxième méthode, ie en passant par A^2, on ne connaît pas la multiplicité des vp, donc il manque un élément pour l'écrire. La calculer, sans repasser par la méthode 1, en déduire la matrice diagonale semblable à A. - Spoiler:
On a une matrice diagonale avec k fois -1, et n-k fois n-1, k étant donc inconnue.
Néanmoins, deux matrices semblables ayant même trace, on peut affirmer que
-k+(n-k)(n-1)=0=Tr(A)
on en déduit n-k=1 et k=n-1, on a bien retrouvé les multiplicités de la première méthode.
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Nicolas G
Messages : 22
Date d'inscription : 07/11/2010
| | Sujet: Re: 15/10/11 Diagonalisation Mer 16 Nov - 23:31 | |
| Pour la question 1 je propose une méthode diantrement rapide et sans calcul: Clairement si on regarde: A + In = la matrice avec que des 1 donc de rang 1, ie dim(Ker(A+In))=n-1 ie dim(Ker(A-(-1)In)=n-1 donc -1 est racine de multiplicité au moins n-1, on cherche la dernière valeur propre. Ensuite comme la trace vaut 0, la somme des vp vaut 0 donc la dernière vp est n-1 C'est ce dont je t'avais parlé avant le DS Matthieu, cherche les valeurs propres évidentes. Avec ça la question se faisait sans calcul en 5 secondes  Et à l'oral c'est plutôt cool XD Rq: Pour trouver la vp n-1 on pouvait aussi dire que la somme sur chaque ligne de A vaut n-1, donc (1,1,1,1,1,1...) est vecteur propre associé à la vp n-1. c'est une caractérisation intéressante à connaitre, si tu ne le savais pas je te conseille de vérifier rapidement c'est tout bête et utile.
Dernière édition par Nicolas G le Jeu 17 Nov - 0:48, édité 1 fois | |
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