10/11/11 Application du Michelson à la mesure de l'intensité de la pesanteur (+exo de diffraction)

On peut décomposer la question 1) en deux questions:
a) Calculer i l'interfrange, en déduire Zmax
b) Evaluer l'intensité de la pesanteur terrestre

On a affaire à un pseudo interféromètre de Michelson avec un dièdre fixe qui joue le rôle du premier miroir plan, et le deuxième qui est en mouvement. Dans ce problème on associe à ça un z, zmax, et la mesure de g. Bref de la méca. Il faut donc comprendre quel est l'intérêt du Michelson pour l'exercice.

1) Pour vraiment comprendre l'intérêt d'un tel système il vaut mieux commencer par aborder l'aspect mécanique du problème.
Approximation 1: On néglige les forces de frottement (l'expérience se déroule de préférence sous vide).
TRC appliqué au dièdre: a(t) = -g
v(t) = -gt + Vo
z(t) = -gt²/2 +Vo*t + Zo = -gt²/2 +Vo*t
On a conservation de l'énergie mécanique du système. Donc la durée T peut se décomposer en T/2 à l'aller et T/2 au retour.
v(T/2) = 0 = -gT/2 +Vo
->g = 2Vo/T
On a bien une réponse au problème. On regarde la question 2) et on se dit "Est-ce que la mesure est précise?". Grâce au horloges atomiques la durée T peut être établie avec une précision effrayante. Par contre pour Vo c'est pas trop ça... Connaitre précisément la vitesse d'éjection est difficile. Et si l'interféromètre servait à ça?


Pour la partie optique du problème on dispose d'un nombre de franges (N/2=5*10^7 à l'aller) et de la côte z. En y réfléchissant le calcul de l'interfrange pour ce système multiplié par le nombre de maxima franchis à l'aller va nous donner la distance Zmax-Zo. C'est la seule donnée qu'on peut obtenir via l'interféromètre, mais elle sera quand même vachement précise

La valeur qui nous intéresse est l'interfrange, donc la différence entre une position de Z où que ça brille et la suivante. Si ya que ça qui nous intéresse on peut faire tout un paquet d'hypothèses qui nous arrangent et qu'on a pas besoin de vérifier.
-> en Z=Zo on est au contact optique (suffit de choisir le Zo adéquat) donc on observe une frange brillante.
-> on définit Zo comme étant l'origine du repère Zo=0, ça mange pas de pain et c'est quand même plus simple.

Calcul de la différence de marche: delta = chemin du rayon vert - chemin du rayon jaune
= 2(Z-Zo) = 2Z

Calcul de l'interfrange: i= lambda/2

D'où Zmax= N/2*i = N.lambda/4


Fini la partie optique, maintenant c'est de la méca de terminale donc tout va bien
On a Zmax très précis, on veut Vo. On a supposé la conservation de l'énergie mécanique tout à l'heure donc:
Em(Z=Zmax) = Em(Z=Zo)
On définit Ep(Z=Zo) = 0 et on a Ec(Zo) = Ep(Zmax)
m.Vo²/2 = m.g.Zmax
D'où Vo= sqrt(2.g.Zmax)

Enfin on obtient g= 2.N.lambda/T² (homogène)

2) On a dit que T était infiniment précis, N est précis à plus ou moins 1 frange (1/10^. Ces expériences sont faites sous vide en laboratoire avec de supers lasers ( HeNe stabilisé au moins :p ) donc de longueur de cohérence de l'ordre de 30 km. Le laser a donc une largeur spectrale de l'ordre de 10^-9*lambda0 (encore plus précis que les 10^-. Et si on considère qu'il n'y a vraiment pas de frottement (vide parfait), la précision de la mesure est de l'ordre de 10^-8.

3) En fait on utilise pas un dièdre mais un trièdre dans l'espace. C'est plutôt cool parce que contrairement au miroir plan, même si on ne le lance pas bien droit en l'air le rayon qui repartira sera quand même rigoureusement parallèle au rayon incident. Par contre pas moyen de faire un coin d'air (Oh Naaaan!)

1) Soit on connait un peu trop son cours et on dit que le pouvoir de résolution de l'oeil est de l'ordre de 10^-4 radians ( la minute d'arc). Alors en supposant que la distance entre les deux phares vaut 1m50 c'est de la géométrie.
2) Soit on commence par faire le 1) et après on est tellement balèze qu'on redémontre l'expression du pouvoir de résolution de l'oeil. Pour cela on explique comment qu'il est l'oeil ( une lentille de focale variable: le cristallin, la rétine située à ~ 1cm du cristallin et le plus important: la pupille qui joue le rôle de ... pupille diffractante, dont on devine le rayon (~2mm, 3 pour mes amis qui ont fumé des trucs selon Mr Cervera). Et après le combo tâche d'Airy, critère de Rayleigh permet de répondre.

La réponse doit être de l'ordre de la dizaine de kilomètres.