Nicolas G
Messages : 22
Date d'inscription : 07/11/2010
 |  Sujet: 11/10/2011 Intégrales et EV (Mme Hirsinger)  Mar 11 Oct - 20:21 | |
| Exo 1:1) Mq cette intégrale est définie: int( ln(1+1/x²), x=0..+infini) 2) Calculer l'intégrale Eléments de réponse: - Spoiler:
1) L'intégrale est définie sur ]0;+infini[ ,
étude en +infini: ln(1+1/x²) ~ 1/x² dont l'intégrale sur [1; +infini[ est définie (Riemann)
étude en 0: ln (1+1/x²) ~ ln(1/x²) = -2ln(x) on calcule cette intégrale (par une IPP) pour montrer qu'elle est définie. (on calculera bien entendu l'intégrale sur [Epsilon,1] avant de faire tendre Epsilon vers 0 :p)
2) IPP en posant u'=1, v=ln(1+1/x²) on trouve l'intégrale égale à Pi.
Exo 2:Soit E un EV, p et q deux projecteurs de E. Mq Ker p = Ker q ssi poq=p et qop=q | |
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Chaan
Le Chaan
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Date d'inscription : 30/08/2011
| | Sujet: Re: 11/10/2011 Intégrales et EV (Mme Hirsinger) Ven 14 Oct - 20:33 | |
| Je peux proposer une solution pour l'exercice 2 de Mme Hirsinger ? Il faudra contrôler mes résultats - Spoiler:
<= ) Soit x dans Ker p , qop (x) = q(p(x)) = 0 et qop(x) = q(x) donc q(x) = 0 donc x dans ker q et même chose avec x dans ker q
=> ) E = Ker p + Im p (somme directe , propriété du projecteur ) et E = Ker q + Im q donc E = Ker q + Im p
D'ou en supposant que x = k + i ou k dans ker p et i dans Im p, q(x) = q( i) = qoq (z ) car il existe z tel que q(z) = i
et qop(z) car il existe z tel que p(z ) = i d
D'ou qoq (z) = qop (z) = p(z) donc qop = p et même chose pour p
Je ne suis pas totalement sûr de la 2e partie de la démo ^^"
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